MATEMATİK NEREDE
 
  ANA SAYFA
  MATEMATİK
  KARİKATÜRLER
  ÜNLÜ MATEMATİKÇİLER
  FIKRALAR
  İLETİŞİM
  FRAKTAL
  ORİGAMİ SANATI
  MATEMATİK SÖZLERİ
  GRAFİK TASARIMI
  KAREKÖK BULMA
  Pİ SAYISI
  ASAL SAYILAR
  GERÇEL SAYILAR
  TAM SAYILAR
  AĞAÇLAR UZAR AMA NEREYE KADAR?
  GEOMETRİ SORULARI
  4 SORU
  Ziyaretçi defteri
GERÇEL SAYILAR

Gerçel sayılar

Matematikte Gerçek sayılar (veya reel sayılar) kümesi, oranlı sayılar (rasyonel sayılar) kümesinin standart metriğe göre bütünlenmesiyle elde edilen kümedir. Reel sayılar kümesi mathbb{R} sembolüyle gösterilir. Daha basit söyleyişle, bir gerçel sayı, ondalık gösteriminde virgülden sonra sonsuz basamağı olan bir sayıdır.

Her oranlı sayı (rasyonel sayı) bir gerçel sayıdır; virgülden sonra tekrar eden ondalık açılımı vardır (0 dahil). Örneğin:

frac{1}{4}=0,2500000....

veya

frac{1}{3}=0,3333333....

veya

frac{15}{13}=1,153846153846153846....

eşitliklerinde olduğu gibi. Burada dikkat edilmesi gereken, ondalık basamaklardaki rakamların bir süre sonra bloklar halinde periyodik tekrar etme özelliğidir. Bu şöyle ispatlanabilir: m, n iki tamsayı (n pozitif) olsun. m/n oranlı sayısı ondalık ifade edilmek istendiğinde, m 'yi n 'ye bölerken (bölme algoritmasını uygularken) ilk adımda kalan 0 ile n arasında olacaktır. Kalanın yanına sıfırlar ekleyip bölmeye devam edilecek ve bir sonraki adımda kalan yine 0 ile n arasında olacaktır. Sonsuz adımda sonlu sayıda değer alabilen kalanlar, bir süre sonra aynı değeri alacak ve kendini tekrar edecektir.

Oranlı sayılardan gerçel sayıları elde etme işlemiyse oranlı sayılara ondalık açılımındaki rakamların devirsel tekrar etmediği sayıların eklenmesi olarak düşünülebilir. Bu tür sonradan elde ettiğimiz gerçel sayılara irrasyonel sayılar denir.

İrrasyonel sayıların varlığı 
Düzlemde herhangi bir doğru parçası alıp buna birim uzunluk diyelim. Tamsayılarla bu doğru parçasının katları birebir eşlensin. Alınan bir doğrunun üzerinde bu tamsayı uzunlukları ve olası tüm oranları (oranlı sayılar) işaretlensin. Gösterilebilir ki, herhangi iki oranlı sayı arasında sonsuz çoklukta oranlı sayı vardır. Demek oluyor ki, alınan doğru üzerinde birbirlerine istenildiği kadar yakın ve oranlı sayıları temsil eden iki nokta (oranlı nokta) arasında , sonsuz çoklukta oranlı nokta vardır.

Bu tür noktaların, dolayısıyla uzunlukların varlığını ispatlamak için, kenar uzunluğu 1 birim olan bir karenin köşegen uzunluğunu (x) sayı doğrusu üzerinde işaretleyelim. x uzunluğu, oranlı bir sayı değildir, yani p ve q birer tamsayı olmak üzere p/q şeklinde gösterilemeyen bir sayıdır; bu sayı sqrt{2} olarak gösterilecektir.

Kabul edelim ki x=p/q olsun. Bundan başka, bu kesrin artık kısaltılamayan bir kesir olduğunu farz edelim, yani p ve q aralarında asal olsunlar. Başka bir deyişle, bunların 1'den başka ortak bölenleri bulunmasın. Pisagor teoremi sayesinde x2=2=p2/q2 elde edilir. Dolayısıyla 2q2=p2 olur. p ve q aralarında asal olduğu için 2, p 'yi bölmek zorundadır. Böylece eşitliğin sağ tarafı 4'e bölünür. Sol tarafının da dörde bölünmesi gerekeceğinden q da 2'ye bölünmek zorunda kalır. Hem p hem de q sayıları 2'ye bölünebiliyorsa, aralarında asallık kabulüyle çelişkili bir sonuç bulunmuş olur. O halde x 'in oranlı bir sayı olduğu kabulünden vazgeçmek gerekecektir.

Bu ispat, bir Pisagorcu olan Hippasus'a atfedilmektedir (İ.Ö: 5. yüzyıl). İrrasyonel sayıların varlığının ilk antik Yunan matematikçi Pisagor'un okulu tarafından anlaşılmış olduğu görüşü yaygındır. Fakat Pisagor bu sayıların evrenin düzenine aykırı olduğunu düşünmüş ve öğrencilerine bu sayıların varlığını açıklamayı yasaklamıştır. Rivayete göre Hippasus'u o öldürtmüştür.

== İrrasyonel Sayılara Örnekler ==

e, pi,, sqrt{2},sqrt{3} birer irrasyonel sayıdır. İki irrasyonel sayının toplamı, çarpımı, yine bir irrasyonel sayı olmak zorunda değildir.

Gerçek sayıların kurulması

Gerçek Sayılar Oransız sayılar kümesi ile oranlı sayılar kümesinin birleşimi Gerçek sayılar kümesini oluşturur. Bu kümeye reel sayılar veya gerçek sayılar da denir. Geometride karşılaşılan bazı büyüklüklerin anlamlandırılabilmesi için Klasik Yunan Dönemi'nde, yaygın inanca göre Pisagor ve öğrencileri tarafından sayı kavramına dâhil edilmişlerdir. Anlatılanlara göre Pisagor doğadaki tüm büyüklüklerin rasyonel sayılarla ifade edilebileceğini söylemekteydi. Fakat bulduğu hipotenüs eşitliğinin bir sonucu olarak x2 = 2 gibi bir değerlerle karşılaştı. Uzun yıllar boyu bu tür sayıların uzun kesirlerle ifade edilebileceğini iddia etti ve göstermeye çalıştıysa da, öğrencilerinden birinin bu gibi sayıların kesinlikle kesirli bir biçimde gösterilemeyeceğini ispat etmesiyle ikna olur ama hayatı boyu bunun bir sır gibi gizlenmesi için çalışır ve doğada gerçek sayıların yeri olmadığını söylemeye devam eder. Gerçek sayılar kümesi harfi ile ifade edilir. İrrasyonel sayılar kümesi ile rasyonel sayılar kümesinin birleşimi reel sayıları oluşturur. Bu kümeye 'gerçel' veya 'gerçek' sayılar da denir. Geometride karşılaşılan bazı büyüklüklerin anlamlandırılabilmesi için Klasik Yunan Dönemi'nde, yaygın inanca göre Pisagor ve öğrencileri tarafından sayı kavramına dahil edilmişlerdir.

Belitlerle inşa 
Aşağıdaki belitler aracılığıyla kurulan gerçel sayılar sistemi, bütün sıralı bir cisimdir. Kümeler kuramının Zermelo-Fraenkel belitleri ile inşası kabul edilerek, aşağıdaki belitleri sağlayan bir modelin varlığı ve bunları sağlayan herhangi iki modelin birbirine izomorfik olduğu gösterilebilir.

Gerçel sayılar sistemi bir R kümesi, içinde 0 ve 1 adlı iki öğe (eleman), + ve x ile gösterilen iki tane ikili işlem ve ≤ olarak gösterilen bir ikili bağıntıdan oluşuktur. Bunlar aşağıdaki belitleri sağlar:

1. (R, +, x) bir cisimdir.

2. (R, ≤) tamamen sıralı bir kümedir.

3. ≤ bağıntısı + ve x işlemleri altında korunur:

  • a, b ve c R 'de, ve a ≤ b olmak üzere a + c ≤ b + c olmalıdır.
  • a, b R 'de, ve 0 ≤ a, 0 ≤ b olmak üzere 0 ≤ a x b olmalıdır.

4. ≤ sıralaması bütündür: R'nin boşküme olmayan ve yukarıdan sınırlı her alt kümesi, en küçük bir üst sınıra sahiptir.

Aşağıda gerçel sayı sistemi için kimi model inşaları bulunmaktadır. Bunların her biri bir diğeriyle, yukarıda sözü edilen anlamda aynıdır.

  • Oranlı sayılar kümesi sayılabilir olmasına karşılık gerçel sayılar kümesi sayılamazdır.
  • Gerçel sayılar "cebirsel sayılar" ve "aşkın sayılar" (transcendental) olarak ikiye ayrılırlar. Cebirsel bir gerçel sayı, tamsayı katsayılı bir polinomun kökü olabilen bir sayıdır; örneğin: x2 - 2 polinomunu 0 yapan değerlerden biri (kök) sqrt{2}'dir. x - 2 polinomunun kökü 2'dir. Dolayısıyla sqrt{2} ve 2 cebirsel sayılardır. Ancak π ve e sayıları herhangi bir polinomun kökü olamazlar; bunlar aşkın sayılardır.

İspat 
Doğal sayıları için nx≤y dir. Bu durumda y/x, N doğal sayılar kümesi için bir üst sınırdır. Böylece N, R nin boş olmayan bir altkümesi olup üstten sınırlıdır ve en küçük üst sınır özelliğinden bir s supremuma (e.k.ü.s.'e) sahiptir. s-1< s olduğundan s-1, N için bir üst sınır olamaz. Bu yüzden, N 'nin s-1 den büyük olan bir n elemanı var olmalıdır. Ancak eğer n>s-1 ise n+1>solur. Bu da s 'nin N nin supremumu olması ile çelişir. Bu da bizi varsayımımızın karşıtına götürür. Yani her bir n için n<=x olamaz.

BU SİTEYE AÇTIĞIMDAN BERİ 14106 ziyaretçi GİRDİ!!!!
 
 


Yeni Sayfa 4
 
Reklam  
   
=> Sen de ücretsiz bir internet sitesi kurmak ister misin? O zaman burayı tıkla! <=